数学基础

函数

定义：将一个对象转化为另一个对象的规则，用 $f$ 表示，$f(x)$ 表述将 $x$ 应用于函数 $f$。

注：每一个输入值，都只有唯一的一个输出值，否则不是函数，如圆方程，一个输入对应两个输出，它不是函数。这里有一个 垂直检验，即一条垂线和图像最多相交一次。

反函数：对于函数 $y=f(x)$ ，的输入值 $x$ 和输出值 $y$，有一个函数 $x=f(y)$ 成立，则称它们互为反函数，$f$ 的反函数使用 $f^{-1}$ 表示。

注：水平线检验，即一条水平线和图像最多相交一次，用来检验函数是否有反函数，由此：函数 $f(x)=x^2$ 没有反函数。

奇函数：如果 $f(-x)=-f(x)$，称 $f$ 是奇函数。偶函数关于 $y轴$ 镜面对称。

偶函数：如果 $f(-x)=f(x)$，称 $f$ 是偶函数。奇函数关于原点有 $180°$ 的点对称。

线性函数：图像是一条直线的函数，表示为：$f(x)=ax+b$，$a$ 是斜率。

常见函数：

1. 多项式函数：形如：$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+⋅⋅⋅+a_xx^2+a_1x+a_0$，最大的幂指数 $n$ 叫做多项式的度数。

2. 有理函数：形如：$\frac{p(x)}{q(x)}$，其中 $p(x)$、$q(x)$ 为多项式。

3. 指数函数、对数函数：

   • 形如：$y=b^x$，且 $b>1$，称为指数函数。
   • 形如： $y=log_{b^{(x)}}$，其中 $b>1$，称为对数函数。
   • 指数函数和对数函数互为反函数。

4. 带有绝对值的函数：由 $f(x)=|x|$ 定义的函数，表示为：

   $|x|=\begin{cases} x 如果 x⩾0， \\ -x 如果 x<0. \end{cases}$

5. 三角函数：